Propiedades de la esperanza, varianza matemática y desviación estándar

Propiedades de la esperanza matemática (Ex) ó (u).

a) La esperanza matemática de una constante k es igual a la misma constante:

(Ex) de (k) = k

Ej:  Ex (5) = 5

b) la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de los sumandos:

E (X + Y) = E(X) + E (Y)

Ej:  Hallar la esperanza de las siguientes variables aleatorias:

X                         P(X=x)

0                           0,8

1                           0,1

2                           0,04

Aplicando la propiedad: E (X + Y) = E(X) + E (Y)

            E(x) = [(0_x0,8) + (1_x0,1) + (2_x0,04)]

                        0      +  0,1      +   0,08 =

E(x) = 0,18

c) Un factor constante se puede sacar fuera del signo de esperanza matemática:

E (kx) = k _x E(X)

Ej:  E(X)= 2,4

E (3X) = 3 _x E (X)  3 _x E (X) = 3 _x 2,4 = 7,2

d)  Si X e Y son variables aleatorias que tienen valor esperado, entonces también existe el valor esperado de X + Y y se tiene  E (aX + b) = aE(X) + b

Ej: Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 5X + 2 tiene esperanza 1 ¿Cuál es la esperanza de X?

            Se tiene que E (5X + 2) = 1. Por consiguiente, aplicando la propiedad:

E (aX + b) = aE(X) + b

E (5X+2)= 5E(X) + 2

 5E(x)  = 1 - 2 = -1, es decir, E (x) = -1/5.

Propiedades de la varianza matemática (Vx) ó (o²)

a)  La varianza de una constante es cero (0). Al ser una constante no tiene dispersión y su varianza es cero.

Vx (B) = 0.

Ej: Dada la constante B=4

Vx (4) = 0

b)  La varianza del producto de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

Vx (xX) = x2 Vx.

Ej:Dados los valores C=2; Vx (X) = 7

22 _x Vx (7) + 4 _x Vx (7)= 182.

Propiedades de la desviación estándar DE(x) ó (o).

a) La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero.

DE(x) ≥ 0

b) Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía.

DE + x = DE

c) Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número.

DE(1,2) = DE 1x1 + 2x2.

Ej de DE(x)

Hallar la desviación estándar de los valores 0.125, 0.375, 0.375 y 0.125 sabiendo que la esperanza matemática es E(x)= 1.5 y la varianza es 0.75

DE(x)= raíz cuadrada de 0.75= 0.8660